Категории

Биология

Охрана природы, Экология, Природопользование

Технология

Психология, Общение, Человек

Математика

Литература, Лингвистика

Менеджмент (Теория управления и организации)

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Химия

Философия

Педагогика

Финансовое право

История государства и права зарубежных стран

География, Экономическая география

Физика

Искусство, Культура, Литература

Компьютерные сети

Материаловедение

Авиация

Программирование, Базы данных

Бухгалтерский учет

История

Уголовное право

Экскурсии и туризм

Маркетинг, товароведение, реклама

Социология

Религия

Культурология

Экологическое право

Физкультура и Спорт, Здоровье

Теория государства и права

История отечественного государства и права

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Нероссийское законодательство

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Политология, Политистория

Биржевое дело

Радиоэлектроника

Медицина

Пищевые продукты

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Транспорт

Жилищное право

Гражданское право

Гражданское процессуальное право

Законодательство и право

Прокурорский надзор

Геология

Административное право

Историческая личность

Банковское дело и кредитование

Архитектура

Искусство

Конституционное (государственное) право России

Экономико-математическое моделирование

Право

Компьютеры и периферийные устройства

Астрономия

Программное обеспечение

Разное

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Налоговое право

Техника

Компьютеры, Программирование

История экономических учений

Здоровье

Российское предпринимательское право

Физкультура и Спорт

Музыка

Правоохранительные органы

Экономика и Финансы

Международное право

Военная кафедра

Охрана правопорядка

Сельское хозяйство

Космонавтика

Юридическая психология

Ценные бумаги

Теория систем управления

Криминалистика и криминология




Рефераты на заказ в Ростове-на-Дону

Заказать контрольную работу в Москве

Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

Частично он базируется на материалах странички www . VinogradovAlexei . narod . ru . 1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для выпускников вузов). В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так: Y ( x ) ’= A ( x )· Y ( x ) + F ( x ), где Y ( x ) - вектор-столбец искомых функций, Y ( x ) ’ - вектор-столбец производных искомых функций, A ( x ) - квадратная матрица коэффициентов, F ( x ) – вектор внешних воздействий на систему. Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений: Y ( x ) ’= A ( x )· Y ( x ), но метод справедлив и для неоднородной системы.

Условия на левом крае записываются в виде: L · Y (0) = L , где Y (0) - вектор-столбец значений функций Y ( x ) на левом крае x =0 , L - вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.

Аналогично записываются условия на правом крае: R · Y (1) = R , где Y (1) - вектор-столбец значений функций Y ( x ) на правом крае x =1 , R - вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края. В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K (х ¬ 0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.) Y ( x )= K (х ¬ 0) · Y (0), где K (х ¬ 0)= exp ( Ax ) при условии, что матрица A = constant . При условии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу: Y ( x )= K (х ¬ 0) · Y (0), где K (х ¬ 0)= K (х4 ¬ x3) · K (х3 ¬ x2) · K (х2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0), где K( х j ¬ xi)=exp(A(xi)x), то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. 2. Про половину констант.

Предположим, что решается краевая задача об оболочке ракеты. Это цилиндрическая оболочка и размерность задачи равна 8. То есть система дифференциальных уравнений имеет размерность 8, то есть 8 уравнений. То есть эта система дифференциальных уравнений будет состоять из 8-ми уравнений и матрица А( x ) коэффициентов системы дифференциальных уравнений будет иметь размерность 8х8, а векторы Y ( x ) , Y ( x ) ’, F ( x ) будут иметь размерность 8х1. Соответственно матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными с размерностью 4х8. Вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 может состоять полностью из всех 8 линейно-независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений плюс вектор решения неоднородной системы дифференциальных уравнений: Y ( x ) = Y 1( x )с1 + Y 2( x )с2 + Y 3( x )с3 + Y 4( x )с4 + Y 5( x ) c 5 + Y 6( x ) c 6 + Y 7( x ) c 7 + Y 8( x ) + Y *( x ). Но решение может искаться в виде с половиной констант , то есть в следующем виде: Y ( x ) = Y 1( x )с1 + Y 2( x )с2 + Y 3( x )с3 + Y 4( x )с4 + Y *( x ) или Y ( x ) = Y матрица( x ) · с + Y *( x ), где векторы Y 1( x ), Y 2( x ), Y 3( x ), Y 4( x ) – это линейно-независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений (системы, где F ( x )=0 ), а вектор Y *( x ) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, а с1, с2, с3, с4 - это константы, которые надо вычислить. Здесь Y матрица( x )= | Y 1( x ), Y 2( x ), Y 3( x ), Y 4( x ) |, а с это вектор | с1,с2,с3,с4| . 3. Метод половины констант Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае: L · Y (0) = L , где матрица L прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8. В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей L орт (размерности 4х8), у которой будут 4 ортонормированные строки: L орт · Y (0) = L орт, где в результате ортонормирования вектор L преобразован в вектор L орт . Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в книгах по численным методам.

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу L орт до квадратной матрицы U : | L орт | U = |--------| | N |, где матрица N размерности тоже 4х8 должна достраивать матрицу L орт до невырожденной квадратной матрицы U размерности 8х8. В качестве строк матрицы N можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 есть где взять.

Завершим ортонормирование построенной матрицы U , то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу U орт размерности 8х8 с ортонормированными строками: | L орт | U орт = |--------| | N орт |. Можем записать, что Y матрица(0) = ( N орт)транспонированная = ( N орт)тр. Тогда: Y (0) = Y матрица(0) · с + Y *(0), или Y (0) = ( N орт)тр · с + Y *(0). Подставим эту последнюю формулу в краевые условия L орт · Y (0) = L орт и получим: L орт · ( ( N орт)тр · с + Y *(0) ) = L орт.

Отсюда получаем, что константы с уже не на что не влияют, так как L орт · ( N орт)тр = 0 и остаётся только найти Y *(0) из выражения: L орт · Y *(0) = L орт. Но матрица L орт имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y *(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений: | L орт | | L орт | |-------| · Y *(0) = |--------| | N орт | | 0 |, где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы: | L орт | - 1 | L орт | Y *(0) = |--------| · |--------| | N орт | | 0 |. Тогда итоговая формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычисления имеет вид: | L орт | - 1 | L орт | Y (0) = ( N орт)тр · с + |--------| · |--------| | N орт | | 0 |. Пока материалы повторяли рассуждения со странички www . VinogradovAlexei . narod . ru . Далее пойдут новые рассуждения.

Кажется из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то ее обратная матрица это есть ее транспонированная матрица (не могу посмотреть в литературу, чтобы проверить, но, кажется, это так и есть). Тогда последняя формула приобретает вид: Y (0) = ( L орт)тр · L орт + ( N орт)тр · с или | L орт | Y (0) = [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| | с | То есть получена формула для начала вычислений с левого края, чтобы искать решение в виде только с половиной констант . Далее запишем R · Y (1) = R и Y (1)= K (1 ¬ 0) · Y (0) совместно: R · K (1 ¬ 0) · Y (0) = R И подставим туда выражение для Y (0): | L орт | R · K (1 ¬ 0) · [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| = R | с | Таким образом мы получили выражение | L орт | B · |--------| = R | с |, где матрица B имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B 1 и B 2. Тогда можем записать: B 1 · L орт + B 2 · c = R Отсюда получаем, что c = ( B 2)обратная · ( R - B 1 · L орт ) Таким образом найдены искомые константы c и краевая задача сведена к задаче Коши. А как решать задачи Коши (начальные задачи) это известно. 4. Про «жесткие» краевые задачи. При моделировании пространственных систем при помощи дифференциальных уравнений они иногда оказываются «жёсткими». Это, например, задачи типа расчёта на прочность тонкостенных оболочек в ракето и самолёто-строении, в кораблестроении, в трубопроводах, баках, прочие задачи для тонких и изогнутых конструкций из металла, пластика или композиционного материала. Для решения таких краевых задач с «жёсткими» дифференциальными уравнениями обычно применяют специальные приёмы-методы. «Жёсткие» краевые задачи можно решать методом Алексея Юрьевича Виноградова. Этому методу не свойственны никакие проблемы, какие есть у метода Годунова.

Познакомиться с «методом переноса краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова можно на страничке www . AlexeiVinogradov . narod . ru . 5. Метод половины констант для «жестких» краевых задач.

Запишем | L орт | R · K (1 ¬ 0) · [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| = R | с | совместно с K (1 ¬ 0)= K (1 ¬ x3) · K (х3 ¬ x2) · K (х2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0) и получим: | L орт | R · K (1 ¬ x3) · K (х3 ¬ x2) · K (х2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0) · [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| = R | с | Эту систему можем записать в в иде R · вектор = R Выполним ортонормирование строк этой системы линейных алгебраических уравнений, что не изменит, не затронет вектор . Получим: R орт · вектор = R орт Далее из вектора вычленим матрицу K (1 ¬ x3): R орт · K (1 ¬ x3) · другой_вектор = R орт или D · другой_вектор = R орт Мы опять получили систему линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей D и можем опять выполнить ортонормирование строк этой матрицы, что не затронет другой_вектор . Получим: D орт · другой_вектор = R 2орт И так далее по очереди вычленяем матрицы K (х3 ¬ x2) , K (х2 ¬ x 1) , K (х1 ¬ 0). В результате получаем систему: | L орт | ортонормированная_матрица · |--------| = R (орто_несколько_раз) | с | Таким образом мы получили выражение | L орт | B ортонорм · |--------| = R ортонорм | с |, где матрица B ортонорм имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B 1ортонорм и B 2ортонорм. Тогда можем записать: B 1ортонорм · L орт + B 2ортонорм · c = R Отсюда получаем, что c = ( B 2ортонорм)обратная · ( R - B 1ортонорм · L орт ) Таким образом найдены искомые константы c и «жесткая» краевая задача сведена к «жесткой» задаче Коши. А как решать «жесткие» задачи Коши (начальные задачи) это можно посмотреть в интернете. 6. Метод Алексея Юрьевича Виноградова решения «жестких» начальных задач (задач Коши). Запишем Y ( x 1)= K (х1 ¬ 0) · Y (0) Матрица обратная матрице K (х ¬ 0) это матрица K (0 ¬ x ). Тогда можем записать: K (0 ¬ x 1) · Y ( x 1)= Y (0) Проортонормируем построчно эту систему уравнений и получим K (0 ¬ x 1)орт · Y ( x 1)= Y (0)орт Далее запишем Y ( x 1)= ( K (0 ¬ x 1)орт)обратная · Y (0)орт И так далее односторонней прогонкой во всех точках по очереди, начиная с x = x 1. Алексей Юрьевич Виноградов 12 июля 2006 J Пишите комментарии к методу на адрес AlexeiVinogradov @ yandex . ru Полезная ссылка ( www .AlexeiVinogradov.narod.ru ): - Метод «переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования» Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач.

оценка стоимости аренды нежилого помещения в Смоленске
оценка аренды в Курске
оценка стоимости автомобиля для наследства в Твери

Подобные работы

Методы обработки результатов измерений. ГОСТ 8.207

echo "Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р=0,95. 4.4. При доверительной вероятности Р=0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систем

Статистическая обработка показателей производства картофеля

echo "Группировка регионов по валовому сбору картофеля (40 областей). Абсолютные показатели, как правило, получают непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат замера, взвешиван

Развитие познавательного интереса у младших школьников на уроках математики (5-6 классы)

echo "Интерес школьников к учению является определяющим фактором в процессе овладения ими знаниями. А интерес к овладению знаниями у школьников формируется лишь при условии соответствующей организации

Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней

echo "Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной ч

Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам

echo "Однако, учитывая, что речь идет о начальных ступенях в обучении математике, формирование отвлеченных теоретических знаний естественно вести па основе обобщения накопленного детьми опыта жизненны

Наиболее интересные материалы из журнала "Математика в школе"

echo "Учитель среднего звена, принима ющий таких детей в V классе, должен владеть основ ными технологиями обучения в этой системе, чтобы достаточно полно реализовать их учебно-познаватель ный потенциа

Статические модели задачи размещения

echo "Имеется п пунктов потребления с заданными объемами потребления "; echo ''; echo " и m пунктов производства (предприятий) с неизвестными, ограниченными сверху объемами произ водства "; echo ''; e

Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

echo "Частично он базируется на материалах странички www . VinogradovAlexei . narod . ru . 1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для вы