Внимание! ​​​​hot-diplom.ru не продает дипломы, аттестаты об образовании и иные документы об образовании. Все услуги на сайте предоставляются исключительно в рамках законодательства РФ.

Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

Фидель Кастро

Обстановка дома, где он родился, была скромной, но включала в себя все самое необходимое. Дон Анхель, его отец, приобрел электрический движок, поэтому в доме было хорошее освещение и свой водопровод.

Задачи административного права как отрасли права

Административное право как учебная дисциплина изучается в высших юридических учебных заведениях. Построение системы курса во многом зависит от профиля вуза, где изучается дисциплина административного

Косметика и все о ее пользе

Однако, если бы все, отвергающие косметику, осознали, что косметика - это не только забота о лице, волосах, ногтях, но и уход за всем телом, т.е. что - это и определенные процедуры, поддерживающие све

Инженерно-геологические условия правобережья реки Москвы в районе Крылатской холмистой возвышенности

Основное внимание уделялось инжинерно-геологическому исследованию для обоснования проекта строительства. В период практики производились инженерно-геологические изыскания, позволяющие рационально стро

Налоговое консультирования

Формирование рациональной налоговой системы, не угнетающей предпринимательскую деятельность и позволяющей проводить эффективную бюджетную политику, – одно из условий осуществления полноценных преобраз

Кризис в обществе

Курсовая работа по общей социологии на тему: Кризис в обществе. Пенза 2005. Содержание. Введение…………………………………………………………………3 1. Основные аспекты кризиса как общественного явления: 1) Общие характеристи

Экологические проблемы лесного хозяйства

Столетия леса служили своего рода хозяйственной кладовой, которая представлялась неисчерпаемой. Лес, как источник древесины, топлива, дичи и других продуктов был и остается одним из важнейших поставщи

Расчет параметров горных работ в карьере

Екатеринбург 2001 ЗАДАНИЕ на курсовой проект по дисциплине “Основы горного дела” на тему “Расчет параметров горных работ в карьере” Студент Студенок Г. А. Группа ИЗС - 99 Вариант 18

Скачать работу - Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

Частично он базируется на материалах странички www . VinogradovAlexei . narod . ru . 1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для выпускников вузов). В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так: Y ( x ) ’= A ( x )· Y ( x ) + F ( x ), где Y ( x ) - вектор-столбец искомых функций, Y ( x ) ’ - вектор-столбец производных искомых функций, A ( x ) - квадратная матрица коэффициентов, F ( x ) – вектор внешних воздействий на систему. Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений: Y ( x ) ’= A ( x )· Y ( x ), но метод справедлив и для неоднородной системы.

Условия на левом крае записываются в виде: L · Y (0) = L , где Y (0) - вектор-столбец значений функций Y ( x ) на левом крае x =0 , L - вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.

Аналогично записываются условия на правом крае: R · Y (1) = R , где Y (1) - вектор-столбец значений функций Y ( x ) на правом крае x =1 , R - вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края. В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K (х ¬ 0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.) Y ( x )= K (х ¬ 0) · Y (0), где K (х ¬ 0)= exp ( Ax ) при условии, что матрица A = constant . При условии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу: Y ( x )= K (х ¬ 0) · Y (0), где K (х ¬ 0)= K (х4 ¬ x3) · K (х3 ¬ x2) · K (х2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0), где K( х j ¬ xi)=exp(A(xi)x), то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. 2. Про половину констант.

Предположим, что решается краевая задача об оболочке ракеты. Это цилиндрическая оболочка и размерность задачи равна 8. То есть система дифференциальных уравнений имеет размерность 8, то есть 8 уравнений. То есть эта система дифференциальных уравнений будет состоять из 8-ми уравнений и матрица А( x ) коэффициентов системы дифференциальных уравнений будет иметь размерность 8х8, а векторы Y ( x ) , Y ( x ) ’, F ( x ) будут иметь размерность 8х1. Соответственно матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными с размерностью 4х8. Вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 может состоять полностью из всех 8 линейно-независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений плюс вектор решения неоднородной системы дифференциальных уравнений: Y ( x ) = Y 1( x )с1 + Y 2( x )с2 + Y 3( x )с3 + Y 4( x )с4 + Y 5( x ) c 5 + Y 6( x ) c 6 + Y 7( x ) c 7 + Y 8( x ) + Y *( x ). Но решение может искаться в виде с половиной констант , то есть в следующем виде: Y ( x ) = Y 1( x )с1 + Y 2( x )с2 + Y 3( x )с3 + Y 4( x )с4 + Y *( x ) или Y ( x ) = Y матрица( x ) · с + Y *( x ), где векторы Y 1( x ), Y 2( x ), Y 3( x ), Y 4( x ) – это линейно-независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений (системы, где F ( x )=0 ), а вектор Y *( x ) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, а с1, с2, с3, с4 - это константы, которые надо вычислить. Здесь Y матрица( x )= | Y 1( x ), Y 2( x ), Y 3( x ), Y 4( x ) |, а с это вектор | с1,с2,с3,с4| . 3. Метод половины констант Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае: L · Y (0) = L , где матрица L прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8. В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей L орт (размерности 4х8), у которой будут 4 ортонормированные строки: L орт · Y (0) = L орт, где в результате ортонормирования вектор L преобразован в вектор L орт . Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в книгах по численным методам.

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу L орт до квадратной матрицы U : | L орт | U = |--------| | N |, где матрица N размерности тоже 4х8 должна достраивать матрицу L орт до невырожденной квадратной матрицы U размерности 8х8. В качестве строк матрицы N можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 есть где взять.

Завершим ортонормирование построенной матрицы U , то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу U орт размерности 8х8 с ортонормированными строками: | L орт | U орт = |--------| | N орт |. Можем записать, что Y матрица(0) = ( N орт)транспонированная = ( N орт)тр. Тогда: Y (0) = Y матрица(0) · с + Y *(0), или Y (0) = ( N орт)тр · с + Y *(0). Подставим эту последнюю формулу в краевые условия L орт · Y (0) = L орт и получим: L орт · ( ( N орт)тр · с + Y *(0) ) = L орт.

Отсюда получаем, что константы с уже не на что не влияют, так как L орт · ( N орт)тр = 0 и остаётся только найти Y *(0) из выражения: L орт · Y *(0) = L орт. Но матрица L орт имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y *(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений: | L орт | | L орт | |-------| · Y *(0) = |--------| | N орт | | 0 |, где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы: | L орт | - 1 | L орт | Y *(0) = |--------| · |--------| | N орт | | 0 |. Тогда итоговая формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычисления имеет вид: | L орт | - 1 | L орт | Y (0) = ( N орт)тр · с + |--------| · |--------| | N орт | | 0 |. Пока материалы повторяли рассуждения со странички www . VinogradovAlexei . narod . ru . Далее пойдут новые рассуждения.

Кажется из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то ее обратная матрица это есть ее транспонированная матрица (не могу посмотреть в литературу, чтобы проверить, но, кажется, это так и есть). Тогда последняя формула приобретает вид: Y (0) = ( L орт)тр · L орт + ( N орт)тр · с или | L орт | Y (0) = [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| | с | То есть получена формула для начала вычислений с левого края, чтобы искать решение в виде только с половиной констант . Далее запишем R · Y (1) = R и Y (1)= K (1 ¬ 0) · Y (0) совместно: R · K (1 ¬ 0) · Y (0) = R И подставим туда выражение для Y (0): | L орт | R · K (1 ¬ 0) · [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| = R | с | Таким образом мы получили выражение | L орт | B · |--------| = R | с |, где матрица B имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B 1 и B 2. Тогда можем записать: B 1 · L орт + B 2 · c = R Отсюда получаем, что c = ( B 2)обратная · ( R - B 1 · L орт ) Таким образом найдены искомые константы c и краевая задача сведена к задаче Коши. А как решать задачи Коши (начальные задачи) это известно. 4. Про «жесткие» краевые задачи. При моделировании пространственных систем при помощи дифференциальных уравнений они иногда оказываются «жёсткими». Это, например, задачи типа расчёта на прочность тонкостенных оболочек в ракето и самолёто-строении, в кораблестроении, в трубопроводах, баках, прочие задачи для тонких и изогнутых конструкций из металла, пластика или композиционного материала. Для решения таких краевых задач с «жёсткими» дифференциальными уравнениями обычно применяют специальные приёмы-методы. «Жёсткие» краевые задачи можно решать методом Алексея Юрьевича Виноградова. Этому методу не свойственны никакие проблемы, какие есть у метода Годунова.

Познакомиться с «методом переноса краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова можно на страничке www . AlexeiVinogradov . narod . ru . 5. Метод половины констант для «жестких» краевых задач.

Запишем | L орт | R · K (1 ¬ 0) · [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| = R | с | совместно с K (1 ¬ 0)= K (1 ¬ x3) · K (х3 ¬ x2) · K (х2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0) и получим: | L орт | R · K (1 ¬ x3) · K (х3 ¬ x2) · K (х2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0) · [ ( L орт)тр | ( N орт)тр ] · |--------| = R | с | Эту систему можем записать в в иде R · вектор = R Выполним ортонормирование строк этой системы линейных алгебраических уравнений, что не изменит, не затронет вектор . Получим: R орт · вектор = R орт Далее из вектора вычленим матрицу K (1 ¬ x3): R орт · K (1 ¬ x3) · другой_вектор = R орт или D · другой_вектор = R орт Мы опять получили систему линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей D и можем опять выполнить ортонормирование строк этой матрицы, что не затронет другой_вектор . Получим: D орт · другой_вектор = R 2орт И так далее по очереди вычленяем матрицы K (х3 ¬ x2) , K (х2 ¬ x 1) , K (х1 ¬ 0). В результате получаем систему: | L орт | ортонормированная_матрица · |--------| = R (орто_несколько_раз) | с | Таким образом мы получили выражение | L орт | B ортонорм · |--------| = R ортонорм | с |, где матрица B ортонорм имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B 1ортонорм и B 2ортонорм. Тогда можем записать: B 1ортонорм · L орт + B 2ортонорм · c = R Отсюда получаем, что c = ( B 2ортонорм)обратная · ( R - B 1ортонорм · L орт ) Таким образом найдены искомые константы c и «жесткая» краевая задача сведена к «жесткой» задаче Коши. А как решать «жесткие» задачи Коши (начальные задачи) это можно посмотреть в интернете. 6. Метод Алексея Юрьевича Виноградова решения «жестких» начальных задач (задач Коши). Запишем Y ( x 1)= K (х1 ¬ 0) · Y (0) Матрица обратная матрице K (х ¬ 0) это матрица K (0 ¬ x ). Тогда можем записать: K (0 ¬ x 1) · Y ( x 1)= Y (0) Проортонормируем построчно эту систему уравнений и получим K (0 ¬ x 1)орт · Y ( x 1)= Y (0)орт Далее запишем Y ( x 1)= ( K (0 ¬ x 1)орт)обратная · Y (0)орт И так далее односторонней прогонкой во всех точках по очереди, начиная с x = x 1. Алексей Юрьевич Виноградов 12 июля 2006 J Пишите комментарии к методу на адрес AlexeiVinogradov @ yandex . ru Полезная ссылка ( www .AlexeiVinogradov.narod.ru ): - Метод «переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования» Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач.

оценка стоимости аренды нежилого помещения в Смоленске
оценка аренды в Курске
оценка стоимости автомобиля для наследства в Твери

НАШИ КОНТАКТЫ

Адрес

вся территория РФ

НОМЕР ТЕЛЕФОНА

8-800-414-79-04

График

08:00-18:00 пн,вт,ср,чт,пт,сб,вс.

Email

zakaz@​​​hot-diplom.ru

ДОСТУПНО 24 ЧАСА В ДЕНЬ!
Thank you! Your message has been sent.
Unable to send your message. Please fix errors then try again.

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ