Категории

Биология

Охрана природы, Экология, Природопользование

Технология

Психология, Общение, Человек

Математика

Литература, Лингвистика

Менеджмент (Теория управления и организации)

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Химия

Философия

Педагогика

Финансовое право

История государства и права зарубежных стран

География, Экономическая география

Физика

Искусство, Культура, Литература

Компьютерные сети

Материаловедение

Авиация

Программирование, Базы данных

Бухгалтерский учет

История

Уголовное право

Экскурсии и туризм

Маркетинг, товароведение, реклама

Социология

Религия

Культурология

Экологическое право

Физкультура и Спорт, Здоровье

Теория государства и права

История отечественного государства и права

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Нероссийское законодательство

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Политология, Политистория

Биржевое дело

Радиоэлектроника

Медицина

Пищевые продукты

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Транспорт

Жилищное право

Гражданское право

Гражданское процессуальное право

Законодательство и право

Прокурорский надзор

Геология

Административное право

Историческая личность

Банковское дело и кредитование

Архитектура

Искусство

Конституционное (государственное) право России

Экономико-математическое моделирование

Право

Компьютеры и периферийные устройства

Астрономия

Программное обеспечение

Разное

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Налоговое право

Техника

Компьютеры, Программирование

История экономических учений

Здоровье

Российское предпринимательское право

Физкультура и Спорт

Музыка

Правоохранительные органы

Экономика и Финансы

Международное право

Военная кафедра

Охрана правопорядка

Сельское хозяйство

Космонавтика

Юридическая психология

Ценные бумаги

Теория систем управления

Криминалистика и криминология




Рефераты на заказ в Ростове-на-Дону

Заказать контрольную работу в Москве

Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам

Однако, учитывая, что речь идет о начальных ступенях в обучении математике, формирование отвлеченных теоретических знаний естественно вести па основе обобщения накопленного детьми опыта жизненных наблюдений и практических действий, систематизируемого и обогащаемого под руководством учителя.

Текстовые сюжетные задачи, отражающие конкретные, хорошо понятные детям жизненные ситуации, могут в этих условиях оказаться полезным средством ознакомления учащихся с теми понятиями, отношениями, закономерностями, которые составляют предмет начального курса математики. В этом смысле текстовые задачи играют как бы подсобную роль в курсе математики наряду с такими средствами, как использование различных наглядных пособий, проведение практических работ и пр. 1. Структура решения задачи. Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию.

Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами.

Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи.

Очевидно, что, получив задачу, первое, что нужно сделать,— это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е. провести тот анализ задачи, о котором говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи. В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого, как вы знаете, используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимо главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения. Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить,— это будет уже четвертый этап процесса решения — этап осуществления (изложения) решения. После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения. При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т. д. Все это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи,— это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения. Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: 1-й этап — анализ задачи; 2-й этап — схематическая запись задачи; 3-й этап — поиск способа решения задачи; 4-й этап — осуществление решения задачи; 5-й этап — проверка решения задачи; 6-й этап — исследование задачи; 7-й этап — формулирование ответа задачи; 8-й этап — анализ решения задачи. Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе.

Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения.

Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам. 2. Нестандартные задачи.

Наибольшие затруднения у школьников, как правило, вызывают решения нестандартных задач, т.е. задач, алгоритм решения которых им неизвестен.

Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче 'между строк' условия.

Практически, одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по целой теме.

Однако одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных задач учащихся, или нет. Так, задачи на нахождение суммы конечного числа членов арифметической прогрессии для школьников начальных классов - нестандартные, а для старшеклассников - стандартные. Любая задача, взятая изолированно, сама по себе является нестандартной, но если с ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становится стандартной. В основе решений многих из них лежат: принцип Дирихле, понятие инварианта, запись чисел в различных системах счисления, теория графов, свойства геометрических и магических фигур, правила построения уникурсальных кривых, признаки делимости чисел, законы математической логики и арифметических операций, правила комбинаторики и т.п. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Это чрезвычайно простое положение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел. В самой простой и шутливой форме принцип Дирихле выглядит так: «Если в п клетках сидит не менее т + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит не менее двух кроликов». Более строго он формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (принцип Дирихле). Пусть дано п классов и т предметов. Если т > n , то при отнесении каждого из m предметов к одному из п классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.

Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждый класс попадало не более одного предмета, то всего в рассматриваемых классах было бы не более п предметов, что противоречило бы условию (т > п). Теорема доказана.

Пример 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них оказались два шарика одного цвета? Решение.

Достанем из мешка три шарика. Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров - это очевидно и противоречит тому, что мы достали три шарика. С другой стороны, ясно, что двух шариков может и не хватить. В этой задаче «кроликами» являются шарики, а «клетками» - цвета: белый и черный. Ответ: 3 шарика.

Пример 2. Докажите, что в любой компании из 7 человек есть двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании.

Доказательство.

Вариантов числа знакомых всего 7: от 0 до 6. При этом если у кого-то 6 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых. Так что есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Пример 3. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Доказательство.

Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника, поэтому в силу принципа Дирихле равносторонний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Теорема 2 (обобщенный принцип Дирихле). Если в n классах находится не менее к * n + 1 предметов, то в каком-то из данных классов есть по крайней мере к + 1 предмет.

Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждом классе было не более к + 1 предмета, то во всех классах было бы не более кп предметов, что противоречило бы условию.

Теорема доказана.

Пример 4. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Решение. 25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем «клеткам»-сортам. Так как 25 = 3-8 + 1, то в силу теоремы 2 для п - 3, к = 8 и получим, что в какой-то «клетке»-сорте не менее 9 ящиков.

Пример 5. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку.

Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Доказательство.

Разобьем данный квадрат на 25 квадратов со стороной25 см. По обобщенному принципу Дирихле в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 брошенной.

Теорема 3. Если сумма n чисел равна S , то среди них есть как число, не большее S / n , так и число, не меньшее S / n . Доказательство следует из обобщенного принципа Дирихле.

Пример 6. Пятеро друзей получили за работу 1 550 рублей.

Каждый из них хочет купить себе фотоаппарат ценой 320 рублей.

Докажите, что кому-то из них не удастся это сделать.

Решение. Если бы каждый из друзей мог купить фотоаппарат, то у них в сумме было бы не менее 5320 = 1600 рублей.

Друзья получили 1 550 рублей, следовательно, по крайней мере один из них не сможет купить фотоаппарат. ИНВАРИАНТ . Главная идея применения инварианта заключается в следующем.

Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять определенные операции, и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этих операций?». Чтобы ответить на него, строят некоторую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значения этой величины для двух указанных объектов не равны, то ответ на заданный вопрос отрицателен.

Пример 7. На доске написано 11 чисел - 6 нулей и 5 единиц.

Предлагается 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и, если они были одинаковы, дописать к оставшимся числам один ноль, а если разные - единицу. Какое число останется на доске? Решение.

Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, какой она и была вначале.

Действительно, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций оставшееся число должно быть нечетным, т.е. равным 1. Ответ: 1. В этом примере инвариант — это четность суммы написанных чисел.

Главное в решении задач на инвариант - придумать сам инвариант. Это настоящее искусство, которым можно овладеть лишь при наличии известного опыта в решении подобных задач. Здесь важно не ограничивать фантазию. При этом следует помнить, что: а) придумываемые величины должны быть инвариантны; б) эти инварианты должны давать разные значения для двух данных в условии задачи объектов; в) необходимо сразу определить класс объектов, для которых будет определяться наша величина.

Пример 8 . На плоскости расположено 11 шестеренок (рис. 1), соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? Решение.

Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки.

Третья - снова по часовой, четвертая - против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «четные» — против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке.

Противоречие.

Значит, шестеренки одновременно вращаться не могут. и др. МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ . Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников математики для начальных классов.

Магические фигуры делятся на плоские и пространственные, так как существуют магические квадраты, треугольники, прямоугольники, многоугольники и круги, а также и магические кубы.

Магические (волшебные) квадраты -квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям.

Существуют различные классификации магических квадратов.

Квадраты делятся - в зависимости от прогрессии, которую образуют числа, -на арифметические и геометрические; в зависимости от числа клеток вдоль противоположных его сторон - на нечетные (3, 5, 7, 9 и т.д.), нечетно-четные (6, 10, 14, 18 и т.д.) и четно-четные (4, 8, 12, 16 и т.д.); в зависимости от расстановки чисел в квадрате - на магические обычные, магические с особыми свойствами и сверхмагические (супермагические). Легко показать, что магических квадратов 2x2 нет.

Существует только один магический квадрат 3x3 (остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями), магических квадратов 4x4- 800, 5x5-почти 250 тысяч.

Однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

Отметим основные свойства магических квадратов.

Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Пример 9. В квадрате на рис. 2,а магическая сумма равна 15; квадрат на рис. 2,б получается из него прибавлением 17 к каждому числу, его волшебная сумма равна 15 + 3*17 = 66; умножив все числа в новом квадрате на 2, получим еще один квадрат (рис. 2,в), магическая сумма которого равна 2*66 = 132. рис.2 Свойство 3. Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрессии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило.

Составляя какой-либо магический квадрат, достаточно сначала составить его из простейших чисел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5,..., а затем путем умножения, деления, увеличения или же уменьшения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадратов с самыми разнообразными магическими суммами.

Свойство 4 . Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях.

Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15+66 (см. рис. 3). рис.3 Свойство 5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если переставить его столбцы и ряды, расположенные симметрично относительно центра квадрата.

Построение нечетных магических квадратов.

Существует очень много различных методов построения магических квадратов: индийский метод (рис.4), рис.4 сиамский метод, метод Баше (рис.5) рис.5 Нужно также сказать о треугольниках с магическим периметром (рис.6). рис.6 и о магических кругах (рис.7). Но на них мы не будем подробно останавливаться, т.к. суть решения этих задач однотипна. рис.7 Задачи в «математическую копилку учителя». 13. Постройте магический квадрат 3 х 3, в котором расположите числа от3 до 11 так, чтобы по всем строкам, столбцам и диагоналям была одна и та же сумма. 14. В квадрате 4x4 расставьте четыре одинаковых буквы так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой диагонали встречалась только одна буква. 15. В квадрате 4x4 расставьте 16 букв (четыре буквы а, четыре Ь, четыре с, четыре d ) так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду буква встречалась только один раз, т.е. постройте так называемый латинский квадрат размером 4x4. 16. Переставьте числа в треугольнике, показанном на рис. 6, так, чтобы сумма чисел в каждом треугольнике (по 4 ячейки) стала равна 23, а в каждой трапеции (по 5 ячеек) - 22. 17. Задача Эйнштейна.

Девять кругов расположены так, как показано на рис. 8,а.

Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежащих в вершинах каждого из семи изображенных на рисунке треугольников, была одна и та же. рис.8 Ответ показан на рис. 8,б. 18. Заполните числами кружки так, чтобы сумма чисел в каждом ряду была равна 38 (рис.9,а). Ответ показан на рис, 9,6. рис.9 3. Олимпиадные задачи.

Эффективной формой внеклассной работы по математике является олимпиада. В нашем представлении это не единовременное мероприятие в отдельно взятой школе, а целая система соревнований.

Укажем ее важнейшие особенности. 1. Олимпиада должна занимать значительный промежуток времени, по возможности — целый учебный год. 2. Олимпиада должна быть массовой, с тем, чтобы каждый школьник мог принять в ней участие.

Причем надо стремиться к обеспечению равных возможностей для всех детей, независимо от того, где они учатся: в городе, районном центре или в малой деревне. 3. Олимпиада должна носить многоступенчатый характер - от масштаба отдельного класса до объединения нескольких территорий (в начальных классах таким объединением может быть несколько районов). Такое построение олимпиады позволяет участвовать в ней всем школьникам. При этом выигрывают не только победители, но и участники.

Необходимо провести подготовительные мероприятия и всей олимпиады в целом, и отдельных ее этапов. Важно условие эффективности подготовки — это желание учителей работать совместно с организаторами олимпиады. Нужно разумное сочетание соревнования и мер поощрения как детей, так и учителей.

Организационные мероприятия олимпиады должны дополняться инициативой учителя.

Олимпиада в начальный период обучения занимает важное место в развитии детей.

Именно в это время происходят первые самостоятельные открытия ребенка. Пусть они даже небольшие и как будто незначительные, но в них - ростки будущего интереса к науке. Реализованные возможности действуют на ребенка развивающе, стимулируют интерес не только к математике, но и к другим наукам.

Олимпиада, фактически, проходит в течении года. Она проходит в несколько этапов: 1) заочный (подготовительный) тур; 2) школьный тур; 3) районный тур; 4) межрайонный тур. 5) краевой. 5) меж краевой. 6) федеральный. 7) соревнования всероссийского уровня.

Основным материалом для олимпиад являются задачи. - Разумеется, задачи не должны дублировать материал учебника, а во многих случаях они носят нестандартный характер и иногда могут соответствовать принципу опережающего обучения.

Главное, чтобы ребенок смог проявить смекалку. - Эффектны простые задачи, требующие неожиданного поворота мысли. - Нужны достаточно интересные задачи. - Иногда можно предложить практические задания или задачи отвлеченного характера, но очень важно, чтобы они увлекли детей, поставили перед ними вопросы, полезные для дальнейшего умственного развития. - Целесообразно в задачах прибегать к образам из окружающего мира, а иногда к сказочным сюжетам. Не надо пренебрегать и игровыми ситуациями.

Задачи, которые используются на олимпиадах являются, в большинстве своем, нестандартными, это связано именно с тем, чтобы увидеть, как ребенок мыслит, ход мысли, может ли решать логически, а не по заученной схеме.

Приведенные выше примеры нестандартных задач, также используются на олимпиадах и не только. Ниже приведены примеры олимпиадных задач.

Задача 1: В некотором месяце вторников больше чем понедельников и больше чем сред. Какой это мог быть месяц? Задача 2: За успехи в математике была награждена группа ребят. При этом 14 школьников были отмечены за хорошее выступление на Уральском турнире, 11 – за победу на областной олимпиаде и 13 – за отличную учебу в ЛМШ. Известно, что всего награждено было меньше 20 человек (причем могли награждать и за другие успехи). Оказалось, что три награды не получил никто. А сколько ребят получили по две награды? Задача 3: В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля. Вася каждый круг проезжал на 2 секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга.

Сколько кругов составляла дистанция? Задача 4: Число состоит из 36 цифр.

Разрешается разбить его на группы из шести цифр и переставить эти группы как-нибудь.

Известно, что одна из перестановок в семь раз больше другой.

Докажите, что эта большая перестановка делится на 49. Задача 5: По кругу сидят 2001 рыцарей и лжецов.

Каждый заявил, что его соседи – лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись.

Сколько среди них лжецов? Задача 6: Каждая сторона правильного треугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получили разбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый из маленьких треугольничков записали + или – . Известно, что число в каждом треугольничке равно произведению чисел в тех треугольничках, которые имеют с ним общую сторону.

Докажите, что в каждом из маленьких треугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоит число + . Заключение Данные, которые были обработаны в ходе поиска литературы, позволяют нам говорить о недостаточной освещенности в литературе проблемы обучения младших школьников нестандартным олимпиадным задачам. В работе были изложены только некоторые примеры задач, которые могут использоваться, и используются в ходе проведения олимпиад. Также были прописаны некоторые особенности проведения олимпиад и принципы, которых необходимо придерживаться для лучшего усвоения учениками материала.

Исходя из описанных принципов, учитель сам строит методику обучения этим задачам.

Олимпиадные задачи с каждым годом меняются, усложняются. В этой связи необходимо с каждым годом, если учитель решил обучать младших школьников олимпиадным нестандартным задачам, повышать свой уровень, умение решать эти самые задачи, находить множество способов решения этих задач.

Исходя уже из своих знаний, умений, логики, он и строит обучение, подготавливает учеников к таким видам задач.

снижение стоимости в Курске
оценка стоимости аренды земельного участка в Белгороде
оценка комнаты в Москве

Подобные работы

Статические модели задачи размещения

echo "Имеется п пунктов потребления с заданными объемами потребления "; echo ''; echo " и m пунктов производства (предприятий) с неизвестными, ограниченными сверху объемами произ водства "; echo ''; e

Развитие познавательного интереса у младших школьников на уроках математики (5-6 классы)

echo "Интерес школьников к учению является определяющим фактором в процессе овладения ими знаниями. А интерес к овладению знаниями у школьников формируется лишь при условии соответствующей организации

Статистическая обработка показателей производства картофеля

echo "Группировка регионов по валовому сбору картофеля (40 областей). Абсолютные показатели, как правило, получают непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат замера, взвешиван

Наиболее интересные материалы из журнала "Математика в школе"

echo "Учитель среднего звена, принима ющий таких детей в V классе, должен владеть основ ными технологиями обучения в этой системе, чтобы достаточно полно реализовать их учебно-познаватель ный потенциа

Методы обработки результатов измерений. ГОСТ 8.207

echo "Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р=0,95. 4.4. При доверительной вероятности Р=0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систем

Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

echo "Частично он базируется на материалах странички www . VinogradovAlexei . narod . ru . 1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для вы

Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней

echo "Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной ч

Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам

echo "Однако, учитывая, что речь идет о начальных ступенях в обучении математике, формирование отвлеченных теоретических знаний естественно вести па основе обобщения накопленного детьми опыта жизненны