Категории
Биология
Охрана природы, Экология, Природопользование
Технология
Психология, Общение, Человек
Математика
Литература, Лингвистика
Менеджмент (Теория управления и организации)
Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика
Химия
Философия
Педагогика
Финансовое право
История государства и права зарубежных стран
География, Экономическая география
Физика
Искусство, Культура, Литература
Компьютерные сети
Материаловедение
Авиация
Программирование, Базы данных
Бухгалтерский учет
История
Уголовное право
Экскурсии и туризм
Маркетинг, товароведение, реклама
Социология
Религия
Культурология
Экологическое право
Физкультура и Спорт, Здоровье
Теория государства и права
История отечественного государства и права
Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство
Нероссийское законодательство
Международные экономические и валютно-кредитные отношения
Политология, Политистория
Биржевое дело
Радиоэлектроника
Медицина
Пищевые продукты
Конституционное (государственное) право зарубежных стран
Государственное регулирование, Таможня, Налоги
Транспорт
Жилищное право
Гражданское право
Гражданское процессуальное право
Законодательство и право
Прокурорский надзор
Геология
Административное право
Историческая личность
Банковское дело и кредитование
Архитектура
Искусство
Конституционное (государственное) право России
Экономико-математическое моделирование
Право
Компьютеры и периферийные устройства
Астрономия
Программное обеспечение
Разное
Уголовное и уголовно-исполнительное право
Налоговое право
Техника
Компьютеры, Программирование
История экономических учений
Здоровье
Российское предпринимательское право
Физкультура и Спорт
Музыка
Правоохранительные органы
Экономика и Финансы
Международное право
Военная кафедра
Охрана правопорядка
Сельское хозяйство
Космонавтика
Юридическая психология
Ценные бумаги
Теория систем управления
Криминалистика и криминология
Рефераты на заказ в Ростове-на-Дону
Заказать контрольную работу в Москве
Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степенейИзвестный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения. Уравнение - аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями, или корнями, уравнения. О таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Совокупность решений данного уравнения зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных. Уравнение может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если уравнение разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, уравнение x 4 – 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения: x 1 = Уравнение sin x = = 0 имеет бесконечное множество решений: x k = k Процесс разыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом: 1. Если равные величины увеличить на одно и тоже число, то результаты будут равны. 2. Если из равных величин вычесть одно и тоже число, то результаты будут равны. 3. Если равные величины умножить на одно и тоже число, то результаты будут равны. 4. Если равные величины разделить на одно и тоже число, то результаты будут равны. В некоторых случаях приходится заменять данное уравнение другим, для которого совокупность корней шире, чем у данного уравнения. Поэтому, если при решении уравнения делались действия, могущие привести к появлению посторонних корней, то все полученные корни преобразованного уравнения проверяют подстановкой в исходное уравнение. Наиболее полно изучены алгебраические уравнения. Их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв. Уравнения вида Например, 2 x + 3 = 0 – уравнение первой степени. Уравнения второй степени называются линейными. Уравнение второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней. Решение линейного уравнения ax + b = 0 записывается в виде x = - Например, уравнение x 3 + 1 = 0 можно записать в виде ( x + 1)( x 2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю: x + 1 = 0, x 2 – x + 1 = 0. Таким образом, корни равны x = -1, Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твёрдая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n -й степени имеет ровно n корней. Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. К ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что a 0 Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашёл! Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n =3 и n =4 . История их открытий и даже авторства найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардана, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела. Рассмотрим сначала уравнение а 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = 0. Легко проверить, что если мы положим x = y - Счастливая догадка итальянцев состояла в том , чтобы искать y в виде суммы y = u + v , где u , v – два новых неизвестных. Для них уравнение перепишется – после небольшой перегруппировки слагаемых – так: u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v0) + q = 0 Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить еще какоенибудь условие – лучше всего 3 uv + q = 0, тогда исходное уравнение примет совсем простой вид u 3 + v 3 + q = 0. Это означает, что сумма кубов u 3 , v 3 должна равняться – q , а их произведение - Исторически за этой формулой закрепилось название формулы Карнадо, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен. Для n = 4 формулу открыл Феррари, она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действия и извлечение радикалов. Вот набросок вывода формулы Феррари. Прежде всего, подобно предыдущему, положим x = y - Исследования Лагранжа дали для последующих алгебраистов весьма удобный аппарат. Кроме того, они указали путь, по которому следовало искать доказательства невозможности общего решения уравнений в радикалах. Дальнейшим этапом в выяснении проблемы решения уравнений в радикалах послужили работы Руффини ( P . Ruffini , 1765-1822) и Абеля ( N .- H . Abel , 1802-1829). Руффини (1799) предложил доказательство неразрешимости в радикалах уравнении 5-й степени, коэффициенты которого являются независимыми. Однако его доказательство окончилось неудачей. Нужен был принципиально новый подход. На этот раз он не заставил себя долго ждать – уже в 1824 году молодой (и в возрасте 27 лет умерший) норвежский математик Нильс Генрик Абель, опираясь на идеи Лагранжа, связанные с перестановками корней уравнения, доказал, что требуемых формул, которые решали бы в радикалах уравнение решали бы в радикалах уравнение общего вида, при n Теорема Абеля дала отрицательны ответ только для уравнений общего вида, т.е. с буквенными коэффициентами а 0 , а 1 , …, а n , но, разумеется, многие конкретные уравнения сколь угодно высокой степени вполне могут решаться в радикалах (пример: уравнение x 90 + 5 x 45 + 7 = 0). Поэтому сразу же встал вопрос о полном решении задачи – нахождении критерия разрешимости уравнений в радикалах, т.е. необходимого и достаточного условия, которое по коэффициентам а 0 , а 1 , …, а n любого заданного уравнения позволяло бы судить, решается уравнение в радикалах или нет. Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах был окончательно разобран, во всяком случае, принципиально, в работах Галуа ( Evariste Galois , 1811-1832). За свою короткую жизнь Галуа успел создать теорию, которая до сих пор стоит в фокусе математической мысли. Рассматривая численные уравнения, он установил понятие их группы, т.е. совокупности таких подстановок между их корнями, которые не нарушают рациональных соотношений между ними. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структуру его корней. В частности, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит к числу так называемых разрешимых групп. Таким образом вопрос о разрешимости каждого данного уравнения в радикалах может быть решен при помощи конечного числа действий. Обратимся теперь к исходному объекту исследования – уравнению а 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0, где а 0 , а 1 , …, а n – заданные числа. Еще Гаусс в конце 18 века доказал «основную теорему алгебры», гласящую, что при любых а 0 , а 1 , …, а n данное уравнение имеет в поле комплексных чисел n корней, точнее, стоящий в его левой части многочлен Шестьдесят страниц, написанных накануне роковой дуэли, явились одним из истоков современной теории групп – основного и наиболее развитого раздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира – симметрию. Рассмотрим на примерах некоторые способы решения алгебраических уравнений степени n Пример 2. Решить уравнение Пример 3. Решить уравнение Пример 5. Решить уравнение Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x , можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. |
оценка авторских прав в Орле
оценка квартиры для наследства в Брянске
Подобные работы
Развитие познавательного интереса у младших школьников на уроках математики (5-6 классы)
echo "Интерес школьников к учению является определяющим фактором в процессе овладения ими знаниями. А интерес к овладению знаниями у школьников формируется лишь при условии соответствующей организации
Статистическая обработка показателей производства картофеля
echo "Группировка регионов по валовому сбору картофеля (40 областей). Абсолютные показатели, как правило, получают непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат замера, взвешиван
Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач
echo "Частично он базируется на материалах странички www . VinogradovAlexei . narod . ru . 1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для вы
Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам
echo "Однако, учитывая, что речь идет о начальных ступенях в обучении математике, формирование отвлеченных теоретических знаний естественно вести па основе обобщения накопленного детьми опыта жизненны
Наиболее интересные материалы из журнала "Математика в школе"
echo "Учитель среднего звена, принима ющий таких детей в V классе, должен владеть основ ными технологиями обучения в этой системе, чтобы достаточно полно реализовать их учебно-познаватель ный потенциа
Статические модели задачи размещения
echo "Имеется п пунктов потребления с заданными объемами потребления "; echo ''; echo " и m пунктов производства (предприятий) с неизвестными, ограниченными сверху объемами произ водства "; echo ''; e
Методы обработки результатов измерений. ГОСТ 8.207
echo "Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р=0,95. 4.4. При доверительной вероятности Р=0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систем
Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней
echo "Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной ч