Специальные методы решения алгебраических уравнений. Решения уравнений высших степеней

Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Уравнение - аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.

Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями, или корнями, уравнения. О таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Совокупность решений данного уравнения зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных.

Уравнение может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если уравнение разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений.

Например, уравнение x 4 – 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения: x 1 = x 2 = - в области действительных чисел и четыре решения: x 1 = = x 2 = - x 3 = i , x 4 = - i в области комплексных чисел.

Уравнение sin x = = 0 имеет бесконечное множество решений: x k = k , k = 0, Если уравнение имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М. Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого, и наоборот, причём оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.

Процесс разыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным.

Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом: 1. Если равные величины увеличить на одно и тоже число, то результаты будут равны. 2. Если из равных величин вычесть одно и тоже число, то результаты будут равны. 3. Если равные величины умножить на одно и тоже число, то результаты будут равны. 4. Если равные величины разделить на одно и тоже число, то результаты будут равны. В некоторых случаях приходится заменять данное уравнение другим, для которого совокупность корней шире, чем у данного уравнения.

Поэтому, если при решении уравнения делались действия, могущие привести к появлению посторонних корней, то все полученные корни преобразованного уравнения проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Наиболее полно изучены алгебраические уравнения. Их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв.

Уравнения вида = 0, где = a 0 x i y i … v k + a 1 x 1 y m … v n + a s x p y q … v r , где x , y , …, v – переменные, а i , j , …, r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так: = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n . Например, 3 x 4 – x 3 + 2 x 2 + 4 x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида Если a 0 0, то n называется степенью уравнения.

Например, 2 x + 3 = 0 – уравнение первой степени.

Уравнения второй степени называются линейными.

Уравнение второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими.

Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Решение линейного уравнения ax + b = 0 записывается в виде x = - Решения общего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 мож но получить с помощью формулы x = Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений только третьей и четвёртой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко найти корни. Что касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н. Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удаётся легко решить, факторизуя их левую часть, то есть разлагая её на множители.

Например, уравнение x 3 + 1 = 0 можно записать в виде ( x + 1)( x 2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю: x + 1 = 0, x 2 – x + 1 = 0. Таким образом, корни равны x = -1, , то есть всего три корня. Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями.

Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе.

Однако во всех случаях существует твёрдая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n -й степени имеет ровно n корней. Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. К ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что a 0 , так как иначе степень уравнения на самом деле не n , а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любо степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах.

Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашёл! Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n =3 и n =4 . История их открытий и даже авторства найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардана, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.

Рассмотрим сначала уравнение а 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = 0. Легко проверить, что если мы положим x = y - , где y – новое неизвестное, то дело сведется к решению уравнения y 3 + py + q = 0, где p , q – новые коэффициенты.

Счастливая догадка итальянцев состояла в том , чтобы искать y в виде суммы y = u + v , где u , v – два новых неизвестных. Для них уравнение перепишется – после небольшой перегруппировки слагаемых – так: u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v0) + q = 0 Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить еще какоенибудь условие – лучше всего 3 uv + q = 0, тогда исходное уравнение примет совсем простой вид u 3 + v 3 + q = 0. Это означает, что сумма кубов u 3 , v 3 должна равняться – q , а их произведение - u 3 , v 3 должны быть корнями квадратного уравнения t 2 + qt – = 0, а для него формула уже известна. В итоге получается формула y = + причем из девяти пар значений входящих в нее кубических радикалов надо брать только пары, дающие в произведении – p /3, как вытекает из нашего рассуждения.

Исторически за этой формулой закрепилось название формулы Карнадо, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен. Для n = 4 формулу открыл Феррари, она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действия и извлечение радикалов. Вот набросок вывода формулы Феррари.

Прежде всего, подобно предыдущему, положим x = y - тогда дело сведется к решению уравнения вида y 4 + pq 2 + qy + r = 0. Дополнив y 4 до ( y 2 + z ) 2 , т.е. прибавив и вычтя в левой части 2 zy 2 + z 2 , где z – вспомогательное неизвестное, получим (y 2 + z) 2 - . Подберем теперь z так, чтобы квадратный трёхчлен в квадратных скобках оказался полным квадратом. Для этого нужно, чтобы его дискриминант равнялся нулю, т.е. чтобы было q 2 - 4(2z – p)(z 2 – r) = 0. Можем ли мы решить это уравнение относительно z ? Да, можем, так как оно кубическое. Пусть z 0 – какой-нибудь его корень (даваемый формулой Кардано) тогда исходное уравнение перепишется в виде y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = При этом знаки перед радикалами выбирают так, чтобы выполнялось равенство В 1770-71 гг. знаменитый французкий математик Лагранж (1736-1819) публикует в Мемуарах Берлинской Академии свой мемуар «Мысли над решением алгебраических уравнений», в котором делает критический пересмотр всех решений уравнений 3-й и 4-й степеней, данных его предшественникам.

Исследования Лагранжа дали для последующих алгебраистов весьма удобный аппарат. Кроме того, они указали путь, по которому следовало искать доказательства невозможности общего решения уравнений в радикалах.

Дальнейшим этапом в выяснении проблемы решения уравнений в радикалах послужили работы Руффини ( P . Ruffini , 1765-1822) и Абеля ( N .- H . Abel , 1802-1829). Руффини (1799) предложил доказательство неразрешимости в радикалах уравнении 5-й степени, коэффициенты которого являются независимыми.

Однако его доказательство окончилось неудачей. Нужен был принципиально новый подход. На этот раз он не заставил себя долго ждать – уже в 1824 году молодой (и в возрасте 27 лет умерший) норвежский математик Нильс Генрик Абель, опираясь на идеи Лагранжа, связанные с перестановками корней уравнения, доказал, что требуемых формул, которые решали бы в радикалах уравнение решали бы в радикалах уравнение общего вида, при n 5 действительно не существует.

Теорема Абеля дала отрицательны ответ только для уравнений общего вида, т.е. с буквенными коэффициентами а 0 , а 1 , …, а n , но, разумеется, многие конкретные уравнения сколь угодно высокой степени вполне могут решаться в радикалах (пример: уравнение x 90 + 5 x 45 + 7 = 0). Поэтому сразу же встал вопрос о полном решении задачи – нахождении критерия разрешимости уравнений в радикалах, т.е. необходимого и достаточного условия, которое по коэффициентам а 0 , а 1 , …, а n любого заданного уравнения позволяло бы судить, решается уравнение в радикалах или нет.

Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах был окончательно разобран, во всяком случае, принципиально, в работах Галуа ( Evariste Galois , 1811-1832). За свою короткую жизнь Галуа успел создать теорию, которая до сих пор стоит в фокусе математической мысли.

Рассматривая численные уравнения, он установил понятие их группы, т.е. совокупности таких подстановок между их корнями, которые не нарушают рациональных соотношений между ними. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структуру его корней. В частности, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит к числу так называемых разрешимых групп. Таким образом вопрос о разрешимости каждого данного уравнения в радикалах может быть решен при помощи конечного числа действий.

Обратимся теперь к исходному объекту исследования – уравнению а 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0, где а 0 , а 1 , …, а n – заданные числа. Еще Гаусс в конце 18 века доказал «основную теорему алгебры», гласящую, что при любых а 0 , а 1 , …, а n данное уравнение имеет в поле комплексных чисел n корней, точнее, стоящий в его левой части многочлен может быть разложен на линейные множители а 0 , где а 1 … а n – некоторые комплексные числа (называемые корнями уравнения). Задача состоит в том, чтобы узнать, существуют ли формулы, выражающие корни а 1 , …, а n через коэффициенты а 0 , а 1 , …, а n c помощью четырех арифметических действий и извлечения радикалов? Эварист Галуа доказал, что общее уравнение степени n неразрешимо в радикалах.

Шестьдесят страниц, написанных накануне роковой дуэли, явились одним из истоков современной теории групп – основного и наиболее развитого раздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира – симметрию.

Рассмотрим на примерах некоторые способы решения алгебраических уравнений степени n . Пример 1. Решить уравнение Разложим левую часть уравнения на множители Переносим тогда 2 x + 2 = 0 или –3 x 2 – 6 x + 24 = 0. Решая эти уравнения, получаем корни x 1 = -1, x 2 = -4, x 3 = 2. Разложение на множители позволило свести решение кубического уравнения к решению квадратного и линейного уравнений.

Пример 2. Решить уравнение Разделим обе части уравнения на ( тогда Пусть тогда Получим уравнение По теореме Виета корни уравнения: Значит, Решая эти уравнения, находим корни Введение замены позволяет понизить степень уравнения и свести его к решению квадратного уравнения.

Пример 3. Решить уравнение Заменим это уравнение равносильным ему прибавлением и вычитанием одного и того же выражения Разложим числитель на множители корнями которого являются Это уравнение можно решить другим способом, выполнив деление многочлена на многочлен Получим Пример 4. Решить уравнение Разделив обе части уравнения на ( не является решением данного уравнения). Полагая корнями которого являются Значит, или R , а корни второго Данный пример показывает, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение с последующим введением замены позволяет понизить степень уравнения.

Пример 5. Решить уравнение Областью допустимых значений данного уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию Тогда, Пусть Решая данное дробно-рациональное уравнение, получим корни Значит, или Решениями уравнений являются Пример 6. Решить уравнение ОДЗ: Пусть Выполняя преобразования, данное уравнение приводится к виду Корни этого уравнения следовательно, Рассмотренные примеры показывают основные способы решения алгебраических уравнений степени n : разложение многочлена на множители, деление на одно и тоже выражение, введение новой переменной. Все указанные способы позволяют понизить степень уравнения и свести решение данного уравнения к решению квадратного или линейного уравнения. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С помощью таких уравнения решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела.

Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.

Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x , можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений.